澳门新葡亰平台8455是一种没有道理的数

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文章关键词:澳门新葡亰平台8455,无理数

  无理数的发现,与不可公度线段有关,与面积计算有关,也与方程求解有关。虽然人们很早就发现了无理数,但是,在很长的一段时期内,人们无法对无理数作出一个合理的解释,也很难给出清晰的符号表达。事实上,实数理论的确立比微积分的出现还要晚。

  人们总是习惯于从已有的概念出发,借助已有的概念来刻画新的事物,但是却遇到了“无理数”这样的难题。虽然人们很早就发现了无理数的存在,但是不能给出一个合理的解释,也很难给出清晰的符号表达,于是称这样的数为无理数,是一种没有道理的数。在这里,我们先来讨论人们是怎样发现无理数的,从中感悟无理数的本质特征。

  毕达哥拉斯学派发现边长为1的正方形的对角线与边长是不可公度的,即不能表示为整数之间的比例关系,这个发现基于一个表述直角三角形三个边长之间关系的定理。在中国,这个定理被称为勾股定理,在西方,这个定理被称为毕达哥拉斯定理。这个定理的一般表述为:令一个直角三角形的两个直角边和一个斜边的边长分别为a,b和c,则有

  由定理可知,如果两个直角边长分别为a=1和b =1,则斜边长c=√2,但是√2不能表示为两个整数之比的形式。

  假设√2能够表示为两个整数比的形式,即√2=a/b,其中a和b为整数且没有公因数。则a2=2b2,于是a2为偶数,因为只有偶数的平方才能为偶数(任何一个奇数可以表示为2n+1,由(2n+1)2=4n2+4n+1知,奇数的平方必为奇数),所有a为偶数。因为a和b没有公因数,a为偶数则b必为奇数。因为a为偶数,可设a=2c,其中 c为整数。则a2=4c2,于是有4c2=2b2即2c2=b2,则b2为偶数且b为偶数。b不可能又是奇数又是偶数,因此,假设不成立,也就是√2不能表示为两个整数比的形式。

  因为古希腊人认为可以用整数或者整数的比来度量一切事物,√2是有有悖于这个理念的,因此是不可理解的,于是,古希腊的大部分学者放弃了对算术的研究而热衷于研究几何。

  人们很早就知道圆的周长为2πr,面积为πr2,其中r是圆的半径,π为圆周率。但是,计算π是非常困难的,人们希望用一个可公度数来近似得到π。因为尼罗河的泛滥,为了调整泛滥后的土地,古埃及人掌握了土地面积测量与计算的技术,他们对于圆面积给出了很好的近似,《莱茵德纸草书》

  第50题说,澳门新葡亰平台8455直径为9的圆形土地的面积等于边长为8的正方形土地的面积。如果用面积公式:82≈π*(9/2)2,可以得到π约等于16/9的平方,即256/81=3.1605,这是在公元前1700年左右得到的结果。当然,仅就这一点,我们还很难确定,当时的古埃及人是否已经建立了关于圆周率的概念。对于π的近似计算,古希腊物理学家,数学家阿基米德得到在22/7与223/71之间,祖冲之得到在22/7与355/113之间,其中22/7是计算圆内接正96边形的周长得到的,355/113被称为密律,也称祖律。

  我们常用的求三角形面积的公式需要知道三角形的一个高,但是古希腊数学家海伦在他的《度量》一书中给出了一个只依赖于边长的公式:对于任意三角形,令三个边长分别为a,b和c,令s为三角形周长的一半,即s=(a+b+c)/2,则三角形的面积为√s(s-a)(s-b)(s-c)。澳门新葡亰平台8455显然,这个数经常为无理数。

  古希腊代数的顶峰是在丢番图时代,澳门新葡亰平台8455他的重要贡献之一就是在代数中引入了符号,甚至给出了相当现在的1/x和x的3次以上幂的形式,在当时这是极度抽象的符号,因为古代人认为2次幂是平方,3次幂是立方,都是有具体的几何背景的,3次以上幂无具体的几何背景因而是无意义的。丢番图知道一元二次方程式有两个根,但不知道如何处理这两个根,于是,两个根均为有理数时,他取较大的哪一个;根为无理数或者虚数时,他则认为这个方程是不可解的。这样,毕达哥拉斯学派的发现在这里就是一个特例了,因为√2是方程x2-2=0的一个根。

  丢番图最感兴趣的问题是:方程的根是否是正整数。他把许多重要的结果写在他的著作《算术》中,现在,人们称求方程整数解的问题为丢番图问题。但是,丢番图绝对不会想到的是,他的《算术》一书引发了一个著名的猜想,这就是费马大定理。费马大定理与勾股定理关系密切,在勾股定理a2+b2=c2中,a,b和c这三个数有可能同时是整数,比如a=3,b=4和c=5。但是,费马猜想,平方的情况是特殊的,对于一般的等式an+bn=cn,当n3时将不存在使a,b和c同时为整数的解。费马把这个问题写在《算术》这本书问题8的页边:

  “不可能将一个立方数写成两个立方数之和;或者将一个4次幂写出两个4次幂之和;或者,总地来说,不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂之和”

  问题是简洁的,证明却是困难的。经历了3个世纪,经过几代数学家的努力,这个问题于1993年被在普林斯顿任教的英国数学家怀尔斯解决,长达130页的论文发表于1995年。

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